<T->
          Matemtica e realidade
          7 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Quinta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2012 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1065-6
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
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          Fax vendas: (11) 3611-3268 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>          
                             I
Sumrio

Quinta Parte

Unidade 6 -- Equaes, 
  sistemas e inequaes

<F->
Captulo 21- Noes 
  iniciais de lgebra :::::: 429
Expresses contendo 
  letras :::::::::::::::::::: 430
Valor numrico de uma 
  expresso ::::::::::::::::: 432
Expresses algbricas na 
  Geometria :::::::::::::::: 437
O que so monmios ::::::::: 442
Termos semelhantes ::::::::: 445
O que so polinmios ::::::: 450
Captulo 22- Equaes :::: 457
Um caminho para descobrir
  um nmero desconhecido :::: 457
Equao :::::::::::::::::::: 458
Raiz de uma equao :::::::: 460
Como se acha a raiz? ::::::: 464
Captulo 23- Resoluo de
  problemas ::::::::::::::::: 492
Empregando equaes :::::::: 492
Problemas resolvidos ::::::: 493
Mais problemas 
  resolvidos :::::::::::::::: 500
Captulo 24- Sistemas :::: 511
Problemas com duas 
  incgnitas :::::::::::::::: 511
Sistemas de equaes ::::::: 512
Resoluo pelo mtodo de
  Substituio ::::::::::::: 513
Resoluo pelo mtodo de
  comparao :::::::::::::::: 515
Captulo 25- 
  Inequaes ::::::::::::::: 526
Desigualdades :::::::::::::: 527
Propriedades das 
  desigualdades ::::::::::::: 528
Inequaes ::::::::::::::::: 533
Soluo de uma inequao ::: 534
Como se resolve uma 
  inequao? :::::::::::::::: 536
Matemtica no tempo 
  -- Equaes :::::::::::::: 563
<F+>
<161>
<T mat. realidade 7>
<t+429> 
<R+>
Unidade 6 -- Equaes, sistemas e inequaes 
<R->

<F->
Captulos: 
21- Noes iniciais de lgebra 
22- Equaes 
23- Resoluo de problemas 
24- Sistemas 
25- Inequaes 
<F+>
<162>

Captulo 21- Noes iniciais 
  de lgebra 

Um enigma 

  Veja o que a professora disse para o Ricardinho: "Pegando a idade que eu tinha quando me casei, subtraindo 1, dividindo o resultado por 4 e somando com #,c daquela idade, vai dar os 12 anos que voc tem". 
  Quantos anos tinha a professora quando se casou? 
  Esse enigma, assim como muitos problemas de Matemtica, pode ser resolvido com a utilizao de tcnicas de clculo desenvolvidas por pesquisadores em Matemtica h vrios sculos. Essas tcnicas fazem parte do assunto denominado lgebra, que iniciamos agora. Aps esse estudo, voc poder resolver esse enigma no exerccio 81 (pgina 498). 

Expresses contendo letras 

  Para resolver problemas mediante o uso de tcnicas algbricas,  conveniente aprendermos a representar matematicamente certas afirmaes. Veja alguns exemplos de como fazer isso. 

<F->
:::::::::::::::::::::::::::::::::
Em lngua          _ Em smbolos 
portuguesa          _ matemticos
::::::::::::::::::::w:::::::::::::
o dobro de trs     _ 2.3     
o dobro de cinco    _ 2.5      
o dobro de trs     _
  stimos           _ 2.37   
o dobro de menos dez_ 2.`(-10) 
::::::::::::::::::::j::::::::::::
<F+>
<163>
<p>
  Usando smbolos, vamos escrever: "o dobro de um nmero". 
  Se representarmos um nmero qualquer com a letra *x*, ento a expresso dada poder ser escrita simbolicamente assim: 2.x ou simplesmente assim (omitindo o sinal da multiplicao): 2x em que *x* pode ser qualquer nmero `(3, 5, #:g, -10, 0, 12, etc.`). 
  Como pode representar diferentes nmeros, *x*  chamado varivel da expresso. 
  Poderamos ter usado qualquer outra letra para representar um nmero; ento, "o dobro de um nmero" tambm pode ser simbolizado por: 2.n; 2.a; 2.r; 2.y. 
  Observe outros exemplos no quadro a seguir: 
<p>
<R+>
_`[{quadro adaptado em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Em lngua portuguesa;
 2 coluna: Em smbolos matemticos.
<R->

<R+>
<F->
a metade de um nmero; x2
um nmero acrescido de 2 unidades; x+2
a soma da metade de um nmero com a quinta parte dele; x2+x5
a soma de dois nmeros; x+y
o produto de dois nmeros; x.y
<R->
<F+>

  Expresses tais como: 3.x; x+2; x2+x5; x+x; x.y; so chamadas expresses algbricas. Elas so formadas de nmeros, letras e sinais de operaes. 

Valor numrico de uma 
  expresso 

  Quando substitumos cada varivel de uma expresso algbrica por um nmero e efetuamos as operaes 
<p>
indicadas, o resultado  chamado valor numrico da expresso. 
  Veja os exemplos: 
<R+>
<F->
 O valor numrico da expresso 2.x para x=5 : 2.5=10. 
 O valor numrico da expresso x2+x5 para x=10 : 102+105=5+2=7. 
 O valor numrico da expresso x+y para x=7 e y=8 : 7+8=15. 
<F+>
<R->
<164>

Exerccios

<R+>
1. Copie a tabela em seu caderno e complete-a: 

_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Em lngua portuguesa;
 2 coluna: Em smbolos matemticos.

<F->
o triplo de um nmero; '''
a soma de um nmero com trs; '''
o qudruplo de um nmero; '''
<p>
a diferena entre um nmero e dois; '''
o quadrado de um nmero; '''

2. Copie a tabela em seu caderno e acabe de preench-la: 
<F+>

_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Em lngua portuguesa;
 2 coluna: Em smbolos matemticos.

<F->
a soma de cinco com o triplo de um nmero; '''
'''; x5
'''; x+x3
a dcima parte de um nmero; '''
o produto de um nmero pela sua stima parte; '''
a diferena entre um nmero e seu quadrado; '''

3. Copie e preencha a tabela no caderno: 
<p>
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Em lngua portuguesa;
2 coluna: Em smbolos matemticos.

'''; x3
'''; 34.x
'''; x+x2
'''; x+y+z
'''; x+x2

4. Calcule o valor numrico da expresso 1+2x para x=7. 
5. Calcule o valor numrico da expresso 3.x+1, sendo *x* o nmero: 0; -1; 2; -3; 7.
6. Calcule o valor numrico da expresso ?x+2*5, para *x* igual ao nmero: 3; 4; 0; -2. 
<165>
7. Qual  o valor numrico da expresso x.y+xy, quando x=12 e y=6? 
8. A calculadora _`[no representada_`] possui a tecla . 
  Digitando 4 e em seguida , o visor mostra o resultado: 2.
  Digitando 9 e em seguida , o visor mostra o resultado: 3.
  Digitando um nmero *n* e em seguida a tecla , que expresso  calculada?
<R->
<F+>

<R+>
9. Em seu caderno, copie e preencha as tabelas de valores numricos.
<R->

a)
<F->
 x     _ 3.x _ x2 _ x2  
:::::::w::::::w::::::w:::::
-4    _ '''  _ '''  _ '''
:::::::w::::::w::::::w:::::
-2    _ '''  _'''   _ '''
:::::::w::::::w::::::w:::::
 0    _ '''  _ '''  _ '''
:::::::w::::::w::::::w:::::
 3    _ '''  _ '''  _ '''
:::::::w::::::w::::::w:::::
 6    _ '''  _ '''  _ '''
:::::::w::::::w::::::w:::::
 12 _ '''  _ '''  _ '''


<P>
b)
 a      _ -1  _ 0  _ 1 
::::::::w::::::w:::::w::::::
 b      _  3  _ 4  _ 5  
::::::::w::::::w:::::w::::::
a+b     _ '''  _ ''' _ '''   
::::::::w::::::w:::::w::::::
a.b     _ '''  _ ''' _ '''   
::::::::w::::::w:::::w::::::
a2.b _ '''  _ ''' _ '''
::::::::w::::::w:::::w::::::
3a+b  _ '''  _ ''' _ '''
<F+>


Expresses algbricas na 
  Geometria 

  Nos exerccios seguintes vamos empregar noes de lgebra e de Geometria.

Exerccios

<R+>
<F->
10. Representando por *x* a medida em graus de um ngulo, 
<p>
  escreva simbolicamente as expresses para: 
a) o dobro do ngulo;  
b) o complemento do ngulo; 
c) o suplemento do ngulo. 

11. Calcule a quarta parte do suplemento do ngulo: 
a) de medida 80; 
b) de medida *x*.

12. Calcule o suplemento do triplo do ngulo: 
a) de medida 40; 
b) de medida *x*. 

13. A medida em graus de um ngulo  *x*. Represente: 
a) a metade do ngulo; 
b) o complemento da metade do ngulo. 
<166>

14. A medida em graus de um ngulo  *a*. Represente: 
a) o dobro do ngulo; 
b) o suplemento do dobro do ngulo. 

15. Se *x* representa a medida de um ngulo, o que representam as expresses a seguir? 
3x4
3`(90-x`) 

16. Calcule o valor das expresses: 
a) ?3`(90-x`)*8, para x=50 
b) ?180-4x*5, para x=120 

17. Indicando por *l* a medida do lado de um quadrado, d as expresses que representam: 
a) o permetro do quadrado; 
b) a rea do quadrado; 
c) o qudruplo da rea do quadrado; 
d) a soma da rea com o permetro do quadrado. 

18. Num retngulo, um lado mede 10 cm a mais que o outro. 
  Representando por *x* a medida 
<p>
  em centmetros do menor lado, d as expresses que representam: 
a) a medida (em centmetros) do maior lado; 
b) o permetro do retngulo;  
c) a rea do retngulo. 

19. D as expresses que representam as reas coloridas: 

_`[{figuras adaptadas_`]

a) um quadrado com o lado medindo *a*, est dividido em quatro partes iguais e uma das partes est colorida.
b) um retngulo com comprimento *b* e altura *h* est dividido em oito partes iguais e seis partes esto coloridas.
c) um tringulo com base *b* e altura *h* est todo colorido.
d) um trapzio com base maior *a*, base menor *b* e altura *h* est todo colorido.
<p>
20. Um bloco retangular tem dimenses *a*, *b* e *c*, em centmetros. 
a) O que representa a expresso algbrica a.b.c? 
b) Calcule o valor dessa expresso para a=4, b=1,8 e c=2,5. 
<167>

21. A superfcie do bloco retangular  constituda de 6 retngulos. Com base nisso: 
a) d a expresso que representa a rea total dessa superfcie, no bloco de dimenses *a*, *b* e *c*;  
b) calcule essa expresso para a=4, b=2,5 e c=2.
  A figura _`[no representada_`] mostra dois dos retngulos destacados do bloco. 
  Parecem paralelogramos porque  assim que os vemos. 
<p>
  Para fazer o exerccio, desenhe tambm os outros quatro retngulos. 
<R->
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

O que so monmios 

  Que operaes aparecem nestas expresses algbricas?
 2x; 34a; -5xy; 10a2 
  Trata-se de multiplicao e potenciao. Podemos dizer que todas representam produtos. Nelas no h adies com variveis, nem subtraes, nem diviso por varivel. Veja: 
 2x=2.x; 34a=34.a; 
  -5.x.y; 10a2=10.a.a
  Expresses como essas so chamadas termos ou monmios. 
  Num monmio distinguimos duas partes: 
<R+>
 uma parte numrica (constante); 
<R->
<p>
  A parte numrica tambm  chamada coeficiente do monmio.

 !::::::::::::::::::::::::
 l Monmio _ Coeficiente _
 h::::::::::w::::::::::::::j
 l 2x      _ 2           _
 l 34a  _ 34        _
 l -5xy    _ -5          _
 l 10a2 _ 10          _
 h::::::::::j::::::::::::::j

 uma parte literal (varivel). 
  Quando o termo tem coeficiente 1, indica-se apenas a parte literal. 

 !::::::::::::::::::::::
 l Termo _ Coeficiente _
 h::::::::w::::::::::::::j
 l x      _ 1           _
 l ab     _ 1           _
 h::::::::j::::::::::::::j
<p>
  Quando o coeficiente  -1, indica-se apenas a parte literal precedida do sinal *-*. 

 !::::::::::::::::::::::
 l Termo _ Coeficiente _
 h::::::::w::::::::::::::j
 l -p     _ -1          _
 l -xy    _ -1          _
 h::::::::j::::::::::::::j
<168>

  Ateno: 
<R+>
 Nmeros (expresses numricas) como, por exemplo, 3, 10, -#?g, #*b e 0 so monmios. 
 O nmero zero  chamado monmio nulo. 
 Qualquer monmio de coeficiente zero  nulo. Por exemplo, os monmios: 0x; 0xy; 0b4.
  So todos iguais a zero: 0x=0; 0xy=0; 0b4=0.
<R->
<p>
Exerccio

<R+>
22. D o coeficiente de cada termo: 
<R->
<F->
a) 9x 
b) -2a 
c) 5m 
d) 34ab 
e) xy  
f) -ab 
g) 4 
h) x2
<F+>

Termos semelhantes 

  Dois termos que tm partes literais iguais, ou que no tm parte literal, so denominados termos semelhantes. 
  So termos semelhantes, por exemplo: 
 6a e -2a; 3x e 7x; 
  12ab e -2ab; -14 e 3.
  Observe que: 
<R+>
 5x2 e 5x no so termos semelhantes. Voc sabe dizer por qu? 
 -3xy e 4yx so termos semelhantes, porque podemos escrever 4yx=4xy, e -3xy  semelhante a 4xy. 
<R->

Soma algbrica de termos 
  semelhantes 

  Aplicando a propriedade distributiva da multiplicao em relao  adio, podemos adicionar monmios semelhantes. 
  Observe os exemplos: 
 3x+7x=`(3+7)x=10x 
 4a-6a=`(4-6)a=-2a 
 2ab+35ab=
  =`(2+35)ab=135ab

  Para adicionar termos semelhantes, somamos os coeficientes e conservamos a parte literal. 
<169>
<p>
Exerccios

<R+>
23. Associe os termos semelhantes: 
<R->
<F->
Termos da esquerda:
I) 3x
II) -4a
III) 3m10
IV) -x2
V) 14
Termos da direita:
A) 10m
B) 5x
C) -23a
D) 4x2
E) 2ax
F) -2
<F+>

<R+>
24. Que termo da esquerda no tem semelhante na direita? 
<R->
<F->
Termos da esquerda:
A) a
B) 5m
C) x2
D) 5
E) ax
F) x2
<p>
Termos da direita:
I) -3m
II) -3
III) 92ax
IV) a2
V) -a
VI) 5x

25. Some os termos semelhantes: 
a) 2x+3x
b) 6y-4y+5y
c) 3a-6a-a 
d) 2x+x-3x
e) 25m+32m 
f) 12ab-3ab
<F+>

<R+>
26. Calcule o permetro de cada polgono. As medidas dos lados esto indicadas. 
<R->
a)
<F->
      
       
  x      x+2
         
          
           
------------u
     x+3
<F+>
<p>
b) _`[no representado_`]

c)
<F->
    x
!::::::
l      _
l      _
l      _
l      _ 2x+1
l      _
l      _
l      _
h::::::j
<F+>

d)
<F->
      10-x
  !:::::::::::
  l           _
  l           _
x l           _
  l           _
  l           _
  h:::::::::::j
<F+>
<p>
<170>
<F->
27. Calcule: 
a) 7a+4a-6a 
b) 32y-2y+73y 
c) 35x+x 
d) 8xy-4xy+4xy-8xy
e) 37x+418x 
f) -x+25x 
g) -3p-7p+18p 
h) ab-3ab+ab2 
<F+>

O que so polinmios 

  Quantos termos tm estas expresses algbricas? 
<R+>
 3x :> Esta expresso  um monmio. Tem 1 termo. 
 3x+7 e 12a+2b-3c-35 :> Essas expresses so somas algbricas de monmios. Uma tem 2 termos, a outra tem 4. 
<R->
  Todas essas expresses so denominadas polinmios. 
  Quando um polinmio apresenta termos semelhantes, eles podem ser adicionados, ficando reduzidos a um s termo. 
<p>
  Veja alguns exemplos: 
 4x+5+3-2x=`(4x-2x`)+
  +`(5+3)=(4-2)x+`(5+3)=
  =2x+8 
 3a-2+12a+35=
  =`(3a+12a`)+
  +`(-2+35)=`(3+12)a+
  +`(?-10+3*~5)=
  =72a-75
 3x-2y-1-x-7y+y=`(3x-x`)+
  +`(-2y-7y+y`)+`(-1)= 
  =`(3-1)x+`(-2-7+1)y-1=
  =2x-8y-1 
  Os polinmios formados por at trs termos recebem nomes especiais. 
<F->
1 termo: monmio 
2 termos: binmio 
3 termos: trinmio 

mono: 1 
bi: 2 
tri: 3 
poli: vrios 
<F+>
<p>
  Os polinmios com mais de trs termos no tm nomes especiais. 
  Confira os exemplos: 
<F->
-10x-1: binmio 
3x-y+7: trinmio 
4xy: monmio 
4a+3b+2c+d+1: polinmio 
<F+>
<171>

Exerccios

<R+>
28. Reduza os termos semelhantes de cada polinmio: 
<R->
<F->
a) 7a+3-2a+5 
b) 3x+7x-5+2
c) 2y-x-1+3y+2x+1 
d) 4a+6b5-2+3b10+
  +a3-1-b
e) 2a-7+3a+4-5a+1-11a 
f) 2a-3b+c-4a+2b-5c-
  -3a-b+c 
g) 3x+2y-1+7x-5y+3-2x+y+6 
<F+>
<p>
<R+>
29. Calcule o permetro de cada trapzio: 
<R->
<F->
a)
<F->
      a
  pccccccccc
  l          
  l           
  l            
a l              b
  l              
  l               
  l                
  v-----------------
       32b    
<F+>

b) 
<F->
              y
      cccccccccccccc
                     
                      
 x                      x+1
                        
                         
--------------------------u
             3y
<F+>
<p>
<R+>
  Num polinmio, dois termos semelhantes com coeficientes opostos podem ser cancelados porque tm soma igual a zero. Observe o exemplo: 
<R->
 3x-1+2x=`(3x+2x`)-1=
  =5x-1 

<R+>
30. Agora, faa voc a reduo dos termos semelhantes: 
<R->
<F->
a) 2x+3y-1-3y+x  
b) a+3x-6a-3x+6a+4 
c) x2-3x+1-x2+5x-1+
  +3x+7x-6 
d) 3x-3+y-3x+2z+y-2z+3-2y 
<F+>

<R+>
<F->
31. Faa os cancelamentos e reduza os termos semelhantes: 
a) x2+2x+4-x2+2x-4  
b) 3y-7x-1+7x+3+y-x-3 
c) a+2ab+b-2ab+c-b
d) a-b-2a-2b+3-a+2b+
  +2a-2b-3 
  Quantas dessas expresses resultam em binmios? E em trinmios? 
<p>
32. Calcule as somas: 
a) `(3x+4)+`(6x-1)
b) `(2a+5b`)+`(7a-6b`)  
c) `(3y+2x-1)+`(-2y+4x+2)  
d) `(3a-2b+c`)+`(-6a-b-2c`)+
  +`(2a+3b-c`) 

33. Aplique a propriedade distributiva e calcule: 

 Propriedade distributiva a`(b+c`)=ab+ac

a) 2`(a+4) 
b) 5`(2a-1) 
c) -4`(2x-3) 
d) 10(3a-2b+1) 
e) 3`(x+2)+2(2x-1)+1 
f) 5`(x+2y-1)-3`(2x-y+1)-x+2 

34. Calcule o permetro e a rea da figura _`[no representada_`]. Ela  formada por quatro 
<p>
  quadrados e um retngulo de dimenses *a* e *b*. 
<R->
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<172>
Captulo 22- Equaes

Um caminho para descobrir 
  nmero desconhecido 

<R+>
_`[{o professor diz: "Vou dar todas essas balas para quem acertar quantas eu tenho na mo. A soma do triplo dessa quantidade com 5  igual a 11."_`]
<R->

  Em problemas de Matemtica nos quais se quer calcular um nmero desconhecido, quase sempre  um bom comeo proceder assim: 
<R+>
1) Escolha uma letra para representar o nmero desconhecido (incgnita). 

Incgnita: aquilo que  desconhecido e que se procura saber. 

2) Monte uma sentena matemtica que seja a traduo simblica do problema em estudo. 
<R->
<p>
  Chamando de *x* o nmero procurado, o problema proposto pode ser traduzido para a seguinte sentena: 
 3.x+5=11 
  Voc vai resolver este problema um pouco mais adiante. 

Equao 

  A sentena 3.x+5=11 expressa igualdade (observe o sinal =) e contm uma letra que representa um nmero desconhecido (incgnita). Sentenas assim so chamadas de equaes. 

  Equao  uma sentena matemtica que contm uma ou mais incgnitas e  expressa por uma igualdade. 

  Toda equao  composta de uma expresso colocada  esquerda do 
sinal = e de outra,  direita do sinal =. Essas expresses so os membros da equao. 
<p>
 1 membro: 3x+5
 2 membro: 11
<173>

Exerccios

<R+>
<F->
35. Escreva uma equao que simbolize o seguinte problema: "Helena e Patrcia so gmeas. A soma de suas idades  46 anos. Qual  a idade de cada uma?".
36. Equacione o problema: "Qual  o nmero que, somado  sua quinta parte, d resultado 12?". 
37. Transforme o problema numa equao: 

_`[{o professor diz: "A soma da tera parte de um nmero com 2  igual ao mesmo nmero somado com 1. Qual  esse nmero?"_`]

38. Escreva uma equao que expresse em smbolos o problema: 
<p>
  A soma de trs nmeros inteiros consecutivos  108. Qual  o menor desses nmeros? 
39. Identifique o primeiro e o segundo membros da equao: 
3x+1=2x-3
  Invente um problema que possa ser transformado nessa equao. 
<F+>
<R->

Desafio 

Brincando de adivinhar 

<R+>
_`[{o menino diz: "Pensei em um nmero, multipliquei por 2, subtra 3, dividi por 4, e obtive como resultado o nmero -1. Em que nmero eu pensei?"_`]
<R->

<174>
Raiz de uma equao 

  Na equao 3.x+5=11, vamos substituir *x* por alguns nmeros: 
<R+>
 para x=0, temos 3.0+5=11 (falso) 
 para x=1, temos 3.1+5=11 (falso) 
 para x=53, temos 3.53+5=11 (falso) 
 para x=2, temos 3.2+5=11 (verdadeiro) 
<R->
  O nmero 2, colocado no lugar da incgnita *x*, transforma a equao 3.x+5=11 numa sentena numrica verdadeira: 3.2+5=11. Por esse motivo, 2  raiz da equao. 

  Um nmero  raiz (ou soluo) de uma equao quando, colocado no lugar da incgnita, transforma a equao em sentena verdadeira. 

  Veja outros exemplos: 
<R+>
 8  raiz da equao x+1=9, porque 8+1=9  verdadeiro. 
 -4  raiz da equao 3-2x=11, porque 3-2`(-4)=11  verdadeiro. 
<R->
  Como podemos verificar se 3  raiz de 2x+1=4+x? 
<p>
  Primeiro substitumos a varivel pelo nmero dado: 2.3+1=4+3 
  Depois, calculamos o valor de cada membro: 6+1=4+3 e verificamos se a sentena resultante  verdadeira: 7=7
  Como obtemos uma sentena verdadeira, 3  raiz da equao 2x+1=4+x. 

<R+>
_`[{a professora diz: "Ser que o nmero 2  raiz da equao ?2x-1*2+?3x+1*3=
  =?5x-3*6?"_`]
<R->

  Substituindo *x* por 2, temos: 
 ?2.2-1*~2+?3.2+1*~3=
  =?5.2-3*~6
 ?4-1*~2+?6+1*~3=
  =?10-3*~6
 32+73=76
 ?9+14*~6=76
 236=76 (falso)
  Nesse caso, conclumos que 2 no  raiz da equao dada. 
<175>
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
40. Faa os clculos e responda: 
a) O nmero 2  raiz da equao 3x+7=2`(x+4)+1? 
b) O nmero 0  raiz da equao 5`(2x-1)+7`(2+3x`)=
  =-3`(x-3)? 
c) O nmero 5  raiz da equao 2`(x+1)=3`(2x+1)-7`(x-2)? 

41. Dados os nmeros 0, -1 e -2, qual deles  raiz da equao 1-3x=7?  

42. O nmero -2  raiz de quais equaes? 
a) x+4=6+2x 
b) 5x+1=4x 
c) 2`(x+2)=3`(4+2x`) 
d) x-2=5x-10 
<F+>
<R->
<p>
Como se acha a raiz? 

Desfazendo subtrao 

<R+>
 Subtraindo 132 de um nmero, obtemos 44. Que nmero  esse? 
<R->
  Sendo *x* o nmero desconhecido, temos: 
 x-132=44 
  Para "desfazer" a subtrao realizada com *x*, somamos 132 aos dois membros da equao: 
 x-132+132=44+132 
 x-0=44+132 
 x=176 
  O nmero  176. 
  Conferindo: 176-132=44 (verdadeiro). 

Desfazendo adio 

<R+>
 Como podemos encontrar a raiz da equao x+35=72? 
<R->
  Nesse caso, para "desfazer" a adio realizada com *x*, subtra-
mos 35 (ou somamos -35) aos dois membros: 
<p>
 x+35-35=72-35
 x+0=72-35
 x=?35-6*~10
 x=2910
  A raiz  2910
  Conferindo: 2910+35=
 =?29+6*~10=3510=72 (verdadeiro). 
<176>

Desfazendo diviso 

<R+>
 Que nmero devemos dividir por 45 para obter o quociente 8? 
<R->
  Sendo *x* o nmero pedido, temos: 
 x45=8 
  Para "desfazer" a diviso realizada com *x*, multiplicamos os dois membros da equao por 45: 
 x45.45=8.45
 x.1=8.45
 x=360
  O nmero  360. 
  Conferindo: 36045=8 (verdadeiro). 
<p>
Desfazendo multiplicao 

<R+>
 Como resolver a equao 7.x=4,9? 
<R->
  Nesse caso, para "desfazer" a multiplicao realizada com *x*, devemos dividir os dois membros por 7 (o que  o mesmo que multiplic-los por 17). 
 ?7.x*7=4,97 
 1.x=4,97
 x=0,7 
  A raiz  0,7. 
  Conferindo: 7.0,7=4,9 (verdadeiro). 

  Resolver uma equao significa encontrar sua raiz (ou razes). 
  Voc pode sempre conferir se resolveu a equao corretamente. 
   s verificar se sua resposta  raiz da equao dada. 
<p>
Operaes elementares 
  sobre equao 

  Nos exemplos anteriores, para encontrar a raiz adicionamos ou multiplicamos um mesmo nmero aos dois membros da equao. Ao fazer isso, realizamos uma operao conhecida como operao elementar sobre a equao. 

  Resumindo, podemos realizar dois tipos de operaes elementares sobre a equao: 
<R+>
 Adicionar um mesmo nmero aos dois membros da equao. 
 Multiplicar por um mesmo nmero, diferente de zero, os dois membros da equao. 
<R->
<177>

Exerccios

<R+>
<F->
43. Transforme em equaes e resolva: 
a) Que nmero devemos somar a -#=c para obter resultado igual a 1? 
<p>
b) Quanto devemos subtrair de 13,5 para obter 6,25? 

44. Resolva as seguintes equaes: 
a) x+5=0 
b) x+4=-3 
c) x-2=-3 
d) 7=x+1
e) 0=x+7 
f) -13=x+2 

45. Transforme numa equao e resolva: 
  Que nmero adicionado a #?f d o mesmo resultado que -#,d adicionado a #;c? 

46. Equacione e resolva: 
a) Por quanto devemos multiplicar 2,25 para obter 45? 
b) Dividindo um nmero por 1,5 obtemos o mesmo que -#=b multiplicado por #"g. Que nmero  esse?  
<p>
47. Escreva as equaes e calcule *x* e *y* na figura:  
<F+>
<R->
<F->

                  
                 
          160 
         ::::::::::::::::::::::
             4x
            
           
          
     y2 x 50
          
           
            
             
              
<F+>

<F->
48. Resolva as equaes: 
a) 7x=28 
b) x8=2 
c) 3x4=5
d) -4x=11
e) -7x=-15 
f) -72x=8 
<F+>
<p>
<R+>
49. Escreva as equaes e calcule *x* em cada figura: 
<R->
 a) 
<F->
              
        l    
        l3x
        l  
        l 
        l 30
  ::::::p::::::
       l_-
       l  
       l 
       l  

b)  
              
             
            
           
          
  x+60  40
  ::::::j::::::
<F+>
<178>
<p>
Isolando a incgnita 

  Vejamos, passo a passo, por meio de exemplos, como isolar a incgnita: 
  Vamos resolver a equao 3x-1=14. 
<R+>
 1 passo: Somar 1 aos dois membros da equao. O objetivo  isolar, no primeiro membro, o termo que apresenta a incgnita `(3x`) e, no segundo membro, os termos sem incgnita: 
<R->
<F->
3x-1=14 
3x-1+1=14+1 
3x-0=14+1 
3x=15 
<F+>
<R+>
 2 passo: Multiplicar os dois membros por 13 (o inverso de 3, que  o coeficiente de *x*). O objetivo  isolar *x* no primeiro membro. 
<R->
<F->
3x=15 
3x.13=15.13 
1.x=153 
x=5 
<p>
Em resumo:
3x-1=14 
3x=14+1 
3x=15 
x=153 
x=5 
<F+>
  A raiz da equao 3x-1=14  5. 
  Conferindo: 3.5-1=14 (verdadeiro). 

  Qual  a raiz da equao 4x+7=x-8? 
<R+>
<F->
 1 passo: Somar -7 aos dois membros da equao. O objetivo  deixar os termos sem incgnita no segundo membro.
4x+7=x-8
4x+7-7=x-8-7
4x+0=x-8-7
4x=x-15
 2 passo: Somar -x aos dois membros. O objetivo  deixar no primeiro membro os termos que apresentam a incgnita.
4x=x-15
4x-x=x-15-x
<p>
4x-x=0-15
3x=15
 3 passo: Multiplicar os dois membros por 13.
3x=-15
13.3x=13.`(-15)
1.x=-153
x=-5
<R->

Em resumo: 
4x+7=x-8 
4x=x-8-7 
4x=x-15 
4x-x=-15 
3x=-15 
x=-5 
<F+>

  A raiz da equao 4x+7=x-8  -5. 
  Conferindo: 
 4`(-5)+7=`(-5)-8 
 -13=-13 (verdadeiro) 
<179>
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
50. A soma do dobro de um nmero com 6  igual a 12. Transforme o problema numa equao e calcule o nmero desconhecido. 

51. Resolva as equaes: 
a) 11x+7=-6 
b) 3x+1=19
c) 5+2x=1 
d) 5x+3=7 

52. Determine a raiz de cada equao: 
a) x-3=1 
b) 2x-3=17
c) -2x-2=-5
d) 3x-1=0
e) 5-2x=-17 
f) 1-x=-1

53. Resolva as equaes: 
a) -9x+8=-43
b) 0=11x-4 
c) -4=2-3x
d) 4=2x+4
 
54. Transforme o problema numa equao e resolva-a: 
  O dobro da medida de um ngulo  igual ao suplemento desse ngulo. Quanto mede o ngulo? 

55. Resolva as equaes: 
a) 2x+11=x
b) 3x+1=2x 
c) 1+2x=3-5x 
d) 5x-1=2-x 

56. Ache a raiz de cada equao: 
a) 1-3x=17-4x
b) 3-2x=17-4x 
c) x-1=7-2x
d) x+1+2x=1-3x 
e) 5+3y=-1+4y 
f) -15-11x=-9-3x 
g) 1-2y=7y+8 
h) 1.045-x=729-3x 
<p>
57. Nas figuras, qual  o valor de *x*?
<F+>
<R->
<F->
a)
             
            
           
          
5x-20  x  x+60
          
           
            
             
              

b)
------------------------
  4x-18   3x+30
            
             
              
               
<F+>

<p>
<R+>
58. Calcule o valor de cada incgnita indicada nas figuras a seguir: 
<R->
<F->
a) x=?
              
             
            
           
          
 2x+5     
::::::::
 x+7    
          
         
          

b) x=?
             
            
           
          
 9x-2  x  4x+18
          
           
            
             
              
<p>
c) a=?
             
            
           
          
  x+20  x  2x-20
          
           
         a  
             
              
<F+>
<180>

Eliminando parnteses 

  Vamos resolver a equao 3`(x+1)+2`(2x-3)=5`(x-1)+8. 
<R+>
 1 passo: Eliminar os parnteses da equao, utilizando a propriedade distributiva da multiplicao. 
<R->
 3`(x+1)+2(2x-3)=
  =5`(x-1)+8 
 3x+3+4x-6=5x-5+8 
 7x-3=5x+3 
<R+>
<p>
 2 passo: Deixar todos os termos sem incgnita no segundo membro. 
<R->
 7x-3=5x+3 
 7x-3+3=5x+3+3 
 7x=5x+6 
<R+>
 3 passo: Deixar os termos que contm a incgnita no primeiro membro. 
<R->
 7x=5x+6 
 7x-5x=5x+6-5x 
 2x=6 
<R+>
 4 passo: Multiplicar os dois membros por 12 (o inverso do coeficiente de *x*). 
<R->
 2x=6 
 12.2x=12.6 
 x=3 

Em resumo: 
 3`(x+1)+2`(2x-3)=
  =5`(x-1)+8 
 3x+3+4x-6=5x-5+8 
 7x-3=5x+3 
 7x=5x+3+3 
 7x-5x=3+3 
<p>
 2x=6 
 x=62 
 x=3 

  A raiz da equao  3. 
  Conferindo: 
 3`(3+1)+2`(2.3-3)=
  =5`(3-1)+8 
 3.4+2.3=5.2+8 
 12+6=10+8 
 18=18 (verdadeiro) 
 
Exerccios

<R+>
<F->
59. Resolva a equao n+`(n+1)+`(n+2)=108, obtida no exerccio 38 (pgina 461). 

60. Determine a raiz de cada equao: 
a) 3`(x+3)-1=2 
b) 3`(x+2)=2`(x-7)
c) 3`(x+2)-1=2`(x+3`)-7 
d) 3`(x+1)+2=5+2`(x-1) 
<181>
<p>
61. Resolva as equaes: 
a) 5`(2x+7)-1=4`(x-5)+9 
b) 2`(x-1)+3`(x+1)=4`(x+2) 
c) 2`(x+1)+5`(x-1)=7  
d) 2`(2x+3)+5`(x+1)=
  =8-3`(x-1) 

62. Responda estas questes a respeito da figura a seguir. 
<F+>
<R->

<F->
        E
         
          
  x+1      x
            
             
  A          D
    l          _
    l          _
2x l          _ 2x+1
    l          _
    l          _
  Bv----------#C
        x+3
<F+>

<R+>
<F->
a) Qual a expresso algbrica que d o permetro do pentgono 
<p>
  {a{b{c{d{e? As medidas so dadas em centmetros. 
b) Se x=1,5, qual  o valor do permetro? 
c) Se o permetro  27,4 cm, qual  o valor de *x*? 

63. O permetro do quadriltero a seguir mede 11 cm. Quanto mede o maior lado do quadriltero?  
<F+>
<R->

<F->
      
x+1   
        
          2x
          
  x        
     -------u
        x+2
<F+>

<F->
64. Resolva as equaes: 
a) 13`(2x-3)-5`(2-x`)=
  =5`(-3+6x`)  
b) 2`(2x+7)+3`(3x-5)=
  =3`(4x+5)-1 
c) 3-7`(1-2x`)=5-`(x+9) 
<p>
d) `(1+3x`)-`(1-2x`)+
  +`(-11-7x`)=5 
e) 2.`(1-5y`)+3`(-1-y`)-
  -4`(-7+2y`)=-y 
f) x-3`(4-x`)=7x-`(1-x`)
<F+>

Eliminando denominadores 

  Vamos resolver a equao ?x+1*3+?3x-1*2=
  =?2x+1*4-3712 
<R+>
 1 passo: Multiplicar os dois membros por um mltiplo comum dos denominadores. O objetivo  eliminar os denominadores. 
<R->
 ?x+1*3+?3x-1*2=
  =?2x+1*4-3712
 12.?x+1*3+12.?3x-1*2=
  =12.?2x+1*4-12.3712 
 4`(x+1)+6`(3x-1)=3`(2x+1)-37 
<R+>
 2 passo: Como recamos numa equao semelhante  do exemplo anterior, seguimos o caminho conhecido: 
<R->
 4x+4+18x-6=6x+3-37 
 22x-2=6x-34 
 22x=6x-34+2 
 22x-6x=-34+2 
 16x=-32 
 x=-3216 
 x=-2 

  A raiz da equao  -2. 
<182>
  Conferindo: 
 ?-2+1*3?3`(-2)-1*2=
  =?2`(-2)+1*4-3712 
 -13-72=-34-3712
 -4612=-4612 (verdadeiro) 

Exerccios

<R+>
<F->
65. Resolva as equaes: 
a) x2=52 
b) 2x3=12 
c) 3x2=15
d) x3=-2 

66. Resolva a equao x+x5=12, obtida no exerccio 36 (pgina 460). 
67. Resolva a equao x3+2=x+1, obtida no exerccio 37 (pgina 460). 
<p>
68. Resolva a equao: 
12`(x-2)+13`(x+4)=0 
<F+>
<R->

<R+>
69. Determine a raiz de cada equao: 
<R->
 ?x-1*7-?x+3*4=1
 ?x-1*2+?x+1*3=?2x+3*5 

<R+>
<F->
70. Escreva a equao e calcule quanto mede o ngulo em cada caso: 
a) O suplemento da quarta parte do ngulo mede 140. 
b) Os trs quintos do suplemento do ngulo medem 36. 
c) O suplemento do ngulo  o triplo do seu complemento. 
<p>
71. Considerando a figura, calcule os valores de *x* e *y* e os ngulos *a*, *b*, *r* e *s*. 
<F+>
<R->

<F->
         
         
x2-10  7x4+10    
::::::::::::::::::::::::
          a  b        
                   
                  
                      
                     
                  s 
                   
           y-10  x  y7+50
                   
                  r 
                     
                      
<F+>

72. Resolva cada equao: 
 a) ?1-x*2=?x+1*2+x
 b) m6+m9=115+?m-12*~3 
 c) ?3y+1*13-?2-y*2=
  =?4y-1*5-?2y-5*3 
 d) ?9x+7*4+`(1-7x`)=?2+x*9
<183>
<p>
<R+>
73. Em cada equao determine o valor de *x*: 
<R->
 a) ?2x-1*4-?x-1*3=
  =?x+1*2+?3x+1*5
 b) x2-?x-1*3+1712=
  =x+?x+7*4

<R+>
74. Descubra a raiz de cada equao: 
<R->
 a) 1+?5z-36*4+?2-z*2=
  =2+?z-12*2
 b) ?1+3x*2-?1-3x*4=
  =?12-x*5+x10

Desafio
 
Equacionando a mdia 

  A mdia final de cada disciplina na Escola Cu Azul  calculada assim: multiplicam-se as notas do 1, 2, 3 e 4 bimestres respectivamente por 1, 2, 
<p>
3 e 4, somam-se os produtos obtidos e divide-se o resultado por 10. 
<R+>
<F->
a) Representando as notas dos bimestres respectivamente por *a*, *b*, *c* e *d*, qual  a expresso algbrica que d a mdia das notas? 
b) Mariana tirou nos trs primeiros bimestres, em Geografia, as notas 7,0, 6,5 e 4,0, nessa sequncia. Quanto ela precisa tirar no 4 bimestre para ficar com mdia 5,0?  
c) Jos Carlos tirou 4,0 em Geografia nos 1 e 2 bimestres. Nos 3 e 4 bimestres, as notas tambm foram iguais. Se sua mdia final foi 6,1 em Geografia, quanto ele tirou nos 3 e 4 bimestres? 
<F+>
<R->
<p>
Matemtica em notcia

Leia esta notcia. 

Campeonato paulista 

Palmeiras j rodou 3.806 km 

  Time vem fazendo seus jogos no interior. 

<R+>
_`[{mapa "O Palmeiras na estrada" do Estado de So Paulo, destacando algumas cidades; contedo a seguir_`]

<F->
Distncias j percorridas pelo time de Luxa este ano:
De So Paulo a Santos -- 77 km
De So Paulo a Barueri -- 32 km
De So Paulo a Ribeiro Preto -- 330 km
De So Paulo a S. J. Rio Preto -- 454 km
<p>
De So Paulo a Piracicaba -- 164 km
De So Paulo a Bauru -- 376 km
De So Paulo a Marlia -- 438 km
<F+>
<R->

Ida: 1.903 km
 Ida e volta: 3.806 km
 Duas viagens para ...

Fonte: *O Estado de S. 
  Paulo*, 16/2/2008.

  Agora responda: 
<R+>
a) No mapa esto indicadas as distncias, em quilmetro (km), de So Paulo a outras sete cidades onde o time do Palmeiras jogou. Numa delas, o Palmeiras jogou duas vezes, perfazendo o total de 3.806 km percorridos, entre ida e volta. Qual  essa cidade?  
<p>
 b) Marcelo e seu pai, torcedores palmeirenses residentes em So Paulo, assistiram aos jogos do time em cinco dessas cidades. Eles percorreram um total de 2.712 km, entre ida e volta. Para que cidades eles no viajaram?  
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<184>
Captulo 23- Resoluo de 
  problemas

Empregando equaes 

  Muitos problemas podem ser escritos como uma equao do 1 grau com uma incgnita e so resolvidos com as tcnicas de clculo que aprendemos. 
  Na resoluo desses problemas, procure: 
<R+>
<F->
L: Ler atentamente o problema. 
X: Estabelecer qual  a incgnita. 
C: Observar a condio para a incgnita (se deve ser nmero natural, ou inteiro, ou positivo, etc.). 
E: Montar uma equao, traduzindo os dados do problema em linguagem matemtica. 
R: Resolver a equao. 
V: Verificar se a raiz encontrada obedece  condio estabelecida na etapa C. 
<F+>
<R->
<p>
Problemas resolvidos 

<R+>
<F->
1) O dobro da quantia que Jair possui e mais R$18,00 d R$66,00. Quanto Jair possui? 
Resoluo 
L: Leia atentamente o problema. 
X: Estabelea a incgnita -- a quantia que Jair possui: *x*. 
C: *x* pode ser nmero inteiro ou fracionrio, mas deve ser positivo. 
E: Monte a equao: 2.x+18=66 
R: Resolva a equao: 
2.x+18=66 
<F+>
<R->
  2x=66-18 
  2x=48 
  x=482 
  x=24 
<R+>
 V: 24  nmero inteiro positivo, portanto, serve.
 Resposta: Jair possui R$24,00. 
<R->

  Vamos conferir? O problema diz: 
<R+>
 o dobro da quantia que Jair possui: 2.24,00=48,00 
<p>
 mais 18,00 d 66,00: 48,00+18,00=66,00 (verdadeiro) 
<R->
<185>

<R+>
<F->
2) Tirando 7 anos da metade da idade de Clvis, obtemos a idade de Roberta, que tem 13 anos. Qual a idade de Clvis? 
Resoluo 
L: Leia o problema com ateno. 
X: A idade de Clvis: *x*. 
C: *x* dever ser nmero inteiro e positivo. 
<R->
E: x2-7=13 
R: x2-7=13 
<F+>
  x-14=26 
  x=26+14 
  x=40 
<R+>
 V: 40  inteiro e positivo, ento serve. 
 Resposta: Clvis tem 40 anos. 
<R->
  E lembre-se: Voc sempre pode conferir se a resposta est correta relendo o problema e fazendo as contas. 
<p>
  A metade da idade de Clvis : 402=20 anos. Tirando 7 anos, ficamos com 13 anos, que  a idade de Roberta. 

<R+>
<F->
3) O qudruplo do nmero de figurinhas de Andr  igual  metade do nmero de figurinhas que ele possui mais 17. Quantas figurinhas tem Andr? 
Resoluo 
L: Leia atentamente o problema. 
X: Nmero de figurinhas de Andr: *x*. 
C: *x* dever ser nmero inteiro e positivo. 
E: 4.x=x2+17 
R: 4.x=x2+17 
<F+>
<R->
  2.4x=2.x2+2.17
  8x=x+34 
  8x-x=34 
  7x=34 
  x=347
<R+>
 V: 347 no  inteiro, ento no serve. 
<p>
 Resposta: O problema no tem soluo. Isso significa que a situao proposta nunca poder ocorrer. 
<R->
<186>

Exerccios

<R+>
<F->
75. Para comprar um tnis que custa R$148,00, Marcelo necessita do dobro da quantia que possui e mais R$15,00. Quanto Marcelo possui?
76. Ao chegar da escola, Marco Antonio foi logo contando para a me: "Hoje medi minha altura; deu 1 metro e 42 centmetros". "Essa  metade da altura do papai mais 50 centmetros", respondeu dona Samantha, me do Marco Antonio. Qual  a altura do pai do garoto? 

77. Talita nasceu em 2001, quando sua me, Luana, tinha 26 anos de idade. 
<p>
a) Num certo ano, Luana ter o triplo da idade de Talita. Qual ser a idade de Talita? 
b) Em que ano isso ocorrer? 

78. Com o qudruplo do dinheiro que possui, Valria conseguiria comprar um aparelho de som que custa R$774,00 e sobrariam R$48,00. Quanto Valria possui? 
79. Subtrair 3 anos do triplo da idade de Rodrigo  igual a adicionar 5 anos ao dobro da idade dele. Que idade tem Rodrigo?
80. Proponha o enunciado de um problema que possa ser resolvido por meio da equao 71-2x=15. 
81. A professora disse ao Ricardinho: "Pegando a idade que eu tinha quando me casei, subtraindo 1, dividindo o resultado por 4 e somando com #,c daquela idade, vai dar os 12 anos que voc tem". Quantos 
<p>
  anos a professora de Ricardinho tinha quando se casou?  
82. Com metade do seu salrio, Flvio compraria uma bicicleta por R$393,26 e ainda sobrariam R$31,15. Qual  o salrio de Flvio? 
83. Qual  o nmero racional cuja quarta parte somada com 7  igual  sua metade menos 11? 
84. Guilherme tem 15 anos, e Gustavo tem 12. Daqui a quantos anos a soma de suas idades ser 61 anos? 
<187>
85. Metade da distncia de So Paulo a Belo Horizonte mais 15 km iguala a distncia de So Jos dos Campos ao Rio de Janeiro, que  de 300 km. Qual a distncia de So Paulo a Belo Horizonte? 

_`[{mapa da Regio Sudeste, no adaptado_`]

86. Com a tera parte dos alunos da classe de Celso  possvel formar duas equipes de vlei. 
<p>
  Quantos alunos tem a classe de Celso? 
87. Por falta de peas, uma montadora de automveis produziu, neste ms, apenas 4.200 veculos, que representam 80% da produo normal. Quantos carros essa fbrica costuma produzir por ms?  

10%=10100=110
25%=25100=14
k%=k100

88. Marco, Maurcio e Marcelo compraram uma sorveteria em sociedade. Marco com 33% do dinheiro, Maurcio com 35%, e Marcelo, com R$8.192,00. Qual foi o preo total da sorveteria? 
89. O fabricante de um sabo em p realizou uma pesquisa para saber que nome deveria dar ao produto novo que iria lanar. Os entrevistados podiam escolher entre Lava Mais, Cheira Bem ou nenhuma das opes. 512 pessoas foram ouvidas: 19 no gostaram de nenhum desses dois nomes, e as que escolheram Lava Mais eram #,}g do nmero das pessoas que preferiram Cheira Bem. Qual o nome vencedor e quantos votos recebeu?  
90. Proponha o enunciado de um problema que possa ser resolvido por meio da equao x5+38=4x. 
<188>
<F+>
<R->

Mais problemas resolvidos 

<R+>
<F->
4) Enzo e Las colheram 162 laranjas e querem reparti-las de modo que Las fique com 10 a mais que Enzo. Quantas laranjas deve receber cada um? 
Resoluo 
L: Leia atentamente o problema. 
X: Nmero de laranjas que Enzo vai receber: *x*. 
<F+>
<R->
  Ento, Las vai receber: x+10. 
<R+>
<p>
<F->
C: *x* dever ser nmero inteiro e positivo. 
E: x+`(x+10)=162
R: x+`(x+10)=162 
<F+>
<R->
  x+x+10=162 
  2x+10=162 
  2x=162-10 
  2x=152 
  x=1522 
  x=76 
<R+>
V: 76  inteiro e positivo, ento serve. 
<R->
  Temos x=76; logo, x+10=76+10=86. 
<R+>
Resposta: Enzo vai receber 76 laranjas e Las, 86. 
<R->
  Conferindo: so 162 laranjas `(76+86=162) e Las fica com 10 a mais que Enzo `(86-76=10). 
  Observe que voc pode resolver esse problema de outra forma: 
<R+>
X: Nmero de laranjas que Las vai receber: *x*. 
<R->
  Ento, Enzo vai receber x-10. 
  Nesse caso, qual  a equao? Quanto d *x*?
  Quantas laranjas Las deve receber? E Enzo? 
  Compare com a resposta anterior. 

<R+>
5) H 46 bolinhas de gude para serem repartidas entre Raul, Artur e Fernandinho. Raul deve receber 3 bolinhas a mais que Artur, e Artur, 2 bolinhas a mais que Fernandinho. Quantas bolinhas deve receber cada um? 
<R->
<F->
Resoluo 
L: Leia atentamente o problema. 
<F+>
  Perceba que o nmero de bolinhas de Raul est sendo comparado com o nmero de bolinhas de Artur; o nmero de bolinhas de Fernandinho tambm est sendo comparado ao nmero de bolinhas de Artur. 
X: Nmero de bolinhas de Artur: *x*. 
  Nmero de bolinhas de Raul: x+3. 
<p>
  Nmero de bolinhas de Fernandinho: x-2. 
<189>
<R+>
<F->
C: *x* dever ser nmero inteiro e positivo. 
E: x+`(x+3)+`(x-2)=46 
R: x+`(x+3)+`(x-2)=46 
<F+>
<R->
  x+x+3+x-2=46 
  3x+1=46 
  3x=46-1 
  3x=45 
  x=453 
  x=15 
<R+>
<F->
V: 15  nmero inteiro e positivo, ento serve. 
  Temos x=15, x+3=15+3=18 e x-2=15-2=13. So 46 bolinhas: 15+18+13=46. 
Resposta: Artur vai receber 15 bolinhas, Raul, 18, e Fernandinho, 13. 
<F+>
<R->

<R+>
6) Obter dois nmeros inteiros consecutivos cuja soma  57. 
<R->
<F->
Resoluo 
<R+>
L: Leia atentamente o problema. 
X: O menor dos nmeros procurados: *x*. 
<R->
<F+>
<p>
  Ento, o outro nmero inteiro, que  consecutivo, : x+1. 
<F->
<R+>
C: *x* dever ser nmero inteiro. 
<R->
E: x+`(x+1)=57 
R: x+`(x+1)=57 
<F+>
  x+x+1=57 
  2x+1=57 
  2x=57-1 
  2x=56 
  x=562 
  x=28 
<R+>
V: 28  nmero inteiro, ento serve. 
<R->
  Se x=28, ento x+1=28+1=29. 
  A soma : 28+29=57. 
<R+>
 Resposta: Os nmeros so 28 e 29. 
<R->

Exerccios

<R+>
<F->
91. Se R$810,00 for repartido entre Rubens e Paula, de modo que Paula receba R$32,00 a mais que Rubens, quanto Rubens deve receber? 
<190>
<p>
92. O auditrio, com capacidade para 540 pessoas, est lotado. O nmero de mulheres  igual ao nmero de crianas, e o nmero de homens  #;e do nmero de mulheres. Quantas so as crianas?  
93. Num retngulo de permetro 44 cm, um lado mede 2 cm a mais que outro. Quanto mede o menor lado do retngulo? 
94. Uma fita de 247 m vai ser dividida em duas partes, de modo que uma tenha 37 m a mais que a outra. Quanto mede a parte maior? 
95. Reparta R$560,00 entre Marlene, Lcia e Flvia, de modo que Marlene receba R$70,00 a mais que Lcia, e Lcia receba R$50,00 a mais que Flvia. 
96. A quantia de R$990,00 vai ser repartida entre Ari, Ben e Carlos. Ari deve receber R$32,00 a menos que Ben, e 
<p>
  Ben deve receber #;c do que Carlos receber. Como deve ser feita a diviso? 
97. Slvio, Marcelo e Carolina estavam jogando pingue-pongue. De repente, decidiram marcar quantos pontos cada um ganhava. Na disputa de 404 pontos, 
  Slvio fez 18 pontos a mais que Marcelo, que fez 47 pontos a menos que Carolina. 
a) Quantos pontos fez Marcelo? 
b) Quem jogou melhor? 

98. Estes foram os trs primeiros colocados na corrida de Frmula 1: 

_`[{trs carros: 1 vermelho. 2 amarelo, 3 azul_`]
<F+>
<R->

  Nessa corrida, os trs consumiram um total de 690 L de gasolina. 
<p>
  Vermelho consumiu #,,ab do que consumiu azul. Amarelo gastou #;:bd do que gastou azul.
  Quanto azul consumiu? 

<R+>
<F->
99. A soma de trs nmeros inteiros consecutivos  408. Quais so os nmeros? 
100. Na sucesso de nmeros mpares positivos: 1, 3, 5, 7, 9, ..., ache dois nmeros vizinhos cuja soma seja 728. 
101. Na sucesso dos nmeros inteiros que so mltiplos de 3: (..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, ...), determine trs nmeros vizinhos cuja soma seja 1.197.  
<191>
102. Um presidente da Repblica governou durante cinco anos. A soma dos nmeros desses anos  9.735. Em que ano comeou seu governo?  

103. Quatro amigos se reuniram para comer numa lanchonete. A conta, de R$52,00, foi paga da seguinte forma: Vicente pagou R$2,00 a mais que Rubens; Rubens pagou R$3,50 a mais que Laerte; Laerte pagou a metade do que Vlter pagou. 
a) Quem pagou a maior quantia? Quanto foi? 
b) Quem pagou a menor quantia? Quanto foi? 

104. Seu Antnio  caminhoneiro. Na sua prxima viagem, vai percorrer os 400 km que separam So Paulo do Rio de Janeiro. Ele vai fazer uma parada obrigatria em Jacare, cuja distncia de So Paulo  #,d da distncia Jacare-Rio. A quantos quilmetros do Rio fica a cidade de Jacare?  
105. Na eleio de Miss Primavera, concorreram trs candidatas: Rosa, Hortnsia e Margarida. Rosa teve 50 votos a menos que Hortnsia, e Margarida teve 25% da votao de Hortnsia. Votaram 1.085 pessoas. 
<p>
  Qual a votao da eleita, se 28 votos foram anulados? 
106. Gilda tem, hoje, 14 anos, e Alusio, 4 anos. Daqui a quantos anos Gilda ter o dobro da idade de Alusio?  

107. Abelardo tem 3 anos a mais que Ermelinda. A soma de suas idades , atualmente, 31 anos. 
a) Qual  a idade de Abelardo? 
b) Qual  a idade de Ermelinda? 
c) H quanto tempo a idade de Abelardo era o dobro da idade de Ermelinda? 

108. Oito pessoas trabalham na padaria do seu Manuel: trs padeiros, o confeiteiro, dois ajudantes e dois copeiros. 
  Para pagar os seus funcionrios, seu Manuel gasta R$5.280,00. As pessoas que trabalham em funes iguais ganham salrios iguais. O salrio mensal de um padeiro  de R$360,00 a mais que o de um ajudante. Um confeiteiro ganha tanto quanto um copeiro, e um copeiro ganha R$200,00 a menos que um ajudante. Qual o salrio mensal de um padeiro?
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<192>
Captulo 24- Sistemas

A festa da classe 

  Dona Luana e seu nio, pais de Ingo, promoveram uma festinha dos amigos de classe do filho. Cada menino levou mais dois meninos convidados, e cada menina, mais uma menina convidada. Ao todo, compareceram os 25 alunos da classe e mais 35 convidados. 
  Quantos meninos e quantas meninas compem a classe do Ingo? 

Problemas com duas incgnitas 

  Nesse problema, temos duas incgnitas: 
 x = nmero de meninos da classe 
 y = nmero de meninas da classe 
  Para resolv-lo, precisaremos montar duas equaes: 
 1 equao 
  A classe tem 25 alunos. Ento: x+y=25 
 2 equao 
<p>
  Ao todo foram 35 convidados. 
  Cada menino levou 2 amigos. Como so *x* meninos na classe, o total de convidados meninos  2.x. 
  Cada menina levou mais uma amiga. Como so *y* meninas na classe, o total de meninas convidadas tambm  *y*. 
  Somando os convidados, formamos a equao: 2x+y=35 

Sistemas de equaes 

  Com as duas equaes, formamos um sistema de equaes: 
 x+y=25 e 2x+y=35 
  A chave _`[no sistema comum de escrita_`] substitui o conectivo *e*. Precisamos achar o valor de *x* e o valor de *y* que tornam verdadeiras as duas sentenas. 
<193>
<p>
Resoluo pelo mtodo de 
  substituio 

  Podemos resolver o sistema (calcular as incgnitas) do seguinte modo: 
<R+>
1 passo: Escolhemos uma das equaes e isolamos uma das incgnitas no primeiro membro. 
<R->
  Na primeira equao, vamos isolar *y* no primeiro membro: 
 x+y=25 
 y=25-x 
<R+>
2 passo: Na outra equao, substitumos a incgnita isolada (no 1 passo) pela expresso obtida e resolvemos a equao resultante. 
<R->
  Na segunda equao, substitumos *y* por `(25-x`) e resolvemos: 
 2x+y=35 
 2x+`(25-x`)=35 
 2x+25-x=35 
 2x-x=35-25 
 x=10 
<p>
<R+>
3 passo: Calculamos a outra incgnita na expresso obtida no 1 passo e damos a resposta. 
<R->
  Calculamos *y* em y=25-x: 
 y=25-x 
 y=25-10 
 y=15 
<R+>
 Resposta: A classe tem 10 meninos e 15 meninas. 
<R->
  Essa forma de resoluo do sistema de equaes denomina-se mtodo de substituio. 
  Lembre-se: Voc sempre pode conferir se resolveu o sistema corretamente, verificando se os valores encontrados satisfazem ambas as equaes. 
  (Para x=10 e y=15, temos x+y=10+15=25 e 2x+y=2.10+15=35) 
  Vejamos outro modo de resolver o sistema. 
<p>
Resoluo pelo mtodo de 
  comparao 

<R+>
1 passo: Escolhemos uma das incgnitas e a isolamos no primeiro membro de cada equao. 
<R->
  Vamos isolar *y* nas duas equaes: 
 1) x+y=25 
  y=25-x 
 2) 2x+y=35 
  y=35-2x 
<R+>
2 passo: Igualamos as duas expresses obtidas para a mesma incgnita e resolvemos a equao resultante. 
<R->
  Igualamos as duas expresses obtidas para *y* e resolvemos: 
 25-x=35-2x 
  -x+2x=35-25 
  x=10 
<R+>
 3 passo: Calculamos a outra incgnita numa das expresses obtidas no 1 passo e damos a resposta. 
<R->
<p>
  Calculamos *y* em y=25-x: 
 y=25-x 
  y=25-10 
  y=15 
<R+>
 Resposta: A classe tem 10 meninos e 15 meninas. 
<R->
<194>
  Essa forma de resoluo do sistema de equaes denomina-se mtodo de comparao. 
  No 3 passo, escolhemos uma das expresses para calcular *y*. Podemos usar a outra para conferir a resposta. 
  (Sendo x=10: y=
 =35-2x :> y=35-2`(10`) :>
 :> y=35-20 :> y=15) 

Exerccios

<R+>
<F->
109. Resolva os sistemas pelo mtodo de substituio: 
a) x-y=1 e x+2y=22
b) 2x+y=0 e 5x-2y=45

110. Resolva os sistemas pelo mtodo de comparao: 
a) x+7y=200 e x-11y=2
b) x+2y=-3 e 3x-y=-#;?b
<p>  
  Resolva os problemas seguintes, montando sistemas de equaes. Use o mtodo de resoluo do sistema que achar mais conveniente. 

111. Quais so os dois nmeros que apresentam soma igual a 27 e diferena igual a 8?  
112. A Escola Rural Indai tem 35 alunos no 7 ano, contando meninos e meninas. Metade do nmero de meninas  igual ao dobro do nmero de meninos. Quantas so as meninas? E os meninos? 
113. Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica (IBGE), no seu Atlas Geogrfico escolar de 2007, at a dcada de 1960 a populao rural no Brasil era consideravelmente maior que a urbana. Mas o fenmeno chamado xodo rural reduzia essa diferena pouco a pouco. 
  A partir da dcada de 1970 as cidades brasileiras passaram a ser muito mais populosas que o campo. 
  Em 2006, a populao do Brasil era de aproximadamente 187,2 milhes de habitantes e a populao rural era apenas cerca de 20% da urbana. Qual era o nmero de habitantes que moravam nas cidades? E no campo? 
114. Um jogo entre Corinthians e Palmeiras foi visto por 60.000 pessoas e apresentou renda de R$1.860.000,00. Havia dois tipos de ingressos: arquibancada a R$20,00 cada e numerada a R$50,00 cada. Quantos torcedores compraram arquibancada? E numerada? 
115. No caixa da Nossa Loja havia 40 notas de R$10,00 a mais que as notas de R$50,00. Elas totalizavam R$2.320,00. Quantas eram as notas de cada valor? 
116 O comprimento *c* de um retngulo  o dobro de sua largura *l* e mais 1 cm. Se o permetro do retngulo  29 cm, quanto mede a sua rea?  
<195>

117. Voc se vira bem na cozinha? Que pratos j sabe preparar? Leia as dicas dos itens a seguir e responda s perguntas.
a) Para temperar uma salada com sal, suco de limo e azeite, coloque a quantidade de sal a gosto. A quantidade de limo deve ser #,c da de azeite. 
  Em 10 mL de tempero, contando apenas limo e azeite, quantos mililitros deve haver de cada um?
b) Numa boa limonada, o suco de limo deve ser aproximadamente #,aa do volume de gua. Para preparar 1 litro de limonada, quanto devemos colocar de suco de limo?  

1 L =1.000 mL
<p>
118. Qual  a frao equivalente a 12,5% em que o numerador e o denominador somam 90?  
119. Resolva o exerccio 91, (pgina 505) (partilha de R$810,00 entre Rubens e Paula), montando um sistema de equaes.  
120. Resolva o exerccio 95 da (pgina 506) (partilha de R$560,00 entre Marlene, Lcia e Flvia) montando um sistema de equaes. Ateno: Use trs incgnitas; o sistema deve ter trs equaes. 
121. Marina possui R$30,00 a mais que Simone. Juntas, elas conseguem comprar dois pares de tnis que custam R$96,00 cada um. Quantos reais possui Simone? E Marina?
122. Na eleio para presidente da Escola de Samba Sabi, votaram 792 associados. Z do Pandeiro ganhou a eleio: ele teve 40 votos a mais que Paulinho da Cuca. Quantos votos recebeu cada candidato? 
123. Samanta e Ubiratan vo repartir entre si 327 figurinhas. Samanta deve ficar com 50% do nmero de figurinhas que Ubiratan receber. Como deve ser feita essa diviso? 

124. Quantos graus mede *y* na figura?  
<F+>
<R->
<F->

             
         y  
           
          
       x  x  y-2x
          
           
            
             
              
<F+>

<R+>
<F->
125. Renata e Denise so amigas desde criana. Este ano elas decidiram comemorar juntas o aniversrio delas. A idade de Renata  75% da idade de Denise. 
  Quantos anos tem cada uma? (Conte as velinhas!) 

_`[{figura de um bolo com 28 velinhas_`]

126. Num estacionamento h 52 veculos, entre automveis e motos. So 134 rodas. Quantos so os automveis? 
127. Na Sorveteria Itlia, seu Brunhera vende duas casquinhas e trs espumones por R$36,00. J cinco casquinhas e quatro espumones custam R$64,00. Qual o preo de cada casquinha? E do espumone? 
128. Numa barraca do parque de diverses, um cachorro-quente e um refrigerante custam, juntos, R$5,00. Por 3 cachorros-quentes e 4 refrigerantes, devemos pagar R$16,50. Qual , ento, o custo de 8 cachorros-quentes e uma dzia de refrigerantes? 
<F+>
<R->
<p>
Desafios 

Quem foi? 

  Um estacionamento tem quatro manobristas, trs que s falam mentiras e um que sempre diz a verdade. Quando o carro de um cliente apareceu amassado, os quatro foram inquiridos a respeito, e limitaram-se a declarar: 

<R+>
_`[{o moo diz: "Quem amassou o carro?"_`]
 
 Zezinho: -- Foi Tio! 
 Tio: -- Foi Baixinho! 
 Moreno: -- No fui eu! 
 Baixinho: -- Tio mente, dizendo que fui eu... 
<R->

  Pense: se foi o Zezinho, quantos esto mentindo? E se foi o Tio? E se... 
<p>
Confira a nota 

  O Escritrio do Mrio comprou 8 cadeiras no total e gastou o valor indicado na nota fiscal. Quantas cadeiras de diretor foram compradas? 

<R+>
_`["Nota fiscal de venda" adaptada em quatro colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Quantidade;
 2 coluna: Mercadoria;
 3 coluna: Preo Unitrio;
 4 coluna: Total.
<R->
<p>
 ::::::::::::::::::::::::::::
 1 _ 2      _ 3     _ 4 
 ::::w::::::::::w:::::::::w:::::
    _ cadeira  _         _
 ''' _secretria_ 120,00 _ ''' 
 ::::w::::::::::w:::::::::w:::::
    _ cadeira  _         _ 
 ''' _ diretor  _ 348,00 _ '''
 ::::j::::::::::j:::::::::j:::::

 Total da nota: R$1.416,00

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<197>
Captulo 25- Inequaes

A balana de pratos 

  Com uma balana de pratos podemos exemplificar sentenas matemticas. Veja: 

<R+>
_`[{balanas de pratos em equilbrio: Prato da esquerda com dois pesos e prato da direita, um peso de 1 kg_`]
<R->

  Quando a balana est em equilbrio significa que as massas so iguais dos dois lados.
  Isso pode ser associado a uma equao. Por exemplo:
 2.x=1.000
 x=500 

<R+>
_`[{balanas de pratos em desequilbrio: Prato da esquerda com dois pesos, mais alto que o prato da direita, com um peso de 1 kg_`]
<R->
<p>
  Quando a balana no est equilibrada, isso significa que no h igualdade entre as massas. 
  Nesse caso tambm podemos associar a uma sentena matemtica: 
 2.x1.000

  Vamos aprender a resolver sentenas com os sinais , o, =, o=. 

Desigualdades 

  Quando comparamos dois nmeros racionais *a* e *b*, somente uma das trs afirmaes  verdadeira: 
<R+>
 ou a=b -- Nesse caso, existe uma igualdade entre *a* e *b*. 
 ou aob ou ab -- Nesses casos, existe uma desigualdade entre *a* e *b*. 
<R->
  Observe algumas desigualdades verdadeiras: 
<R+>
 0#:e (l-se: "0  menor que #:e") 
<p>
 2o1,7 (l-se: "2  maior que 1,7") 
 3o-1 (l-se: "3  maior que -1")
 -#?c#:e (l-se: "-#?c  menor que #:e")
<R->
<198>
  O sinal o (ou ) separa os dois membros da desigualdade: 
 0,5<1,33
 0,5: 1 membro 
 1,33: 2 membro

Propriedades das desigualdades 

Da adio de um mesmo nmero aos 
  dois membros 
  
  Temos que a desigualdade 37  verdadeira. 
  Somando 5 aos dois membros, obtemos: 
 3+57+5 
 812 (verdadeira) 
  Somando -10 (ou subtraindo 10) aos dois membros: 
 3-107-10 
 -7-3 (verdadeira) 
<p>
  Adicionando um mesmo nmero aos dois membros de uma desigualdade verdadeira, ela permanece verdadeira. 

Da multiplicao dos dois membros 
  por um mesmo nmero 

  Temos que a desigualdade 26  verdadeira. 
  Multiplicando os dois membros por 5 fica: 
 2.56.5 
 1030 (verdadeira) 

  "Cuidado quando multiplicar a desigualdade por um nmero negativo".

  Multiplicando os dois membros por -10 fica: 
 2`(-10)6`(-10) 
 -20-60 (falsa) 
  Quando multiplicamos os dois membros por um nmero negativo, 
<p>
para continuar sendo uma desigualdade verdadeira, devemos inverter o sinal ( vira o; o vira ). Veja: 
 26 (verdadeira). 
  Multiplicando por -10 e invertendo o sinal da desigualdade: 
 2`(-10)o6`(-10) 
 -20o-60 (verdadeira) 
  Observe outro exemplo: 
 5o-3 (verdadeira) 
<199>
  Multiplicando por -2 e invertendo o sinal da desigualdade: 
 5`(-2)-3`(-2) 
 -106 (verdadeira) 
  
  Multiplicando os dois membros de uma desigualdade verdadeira por um nmero positivo, ela permanece-
r verdadeira. Multiplicando os dois membros de uma desigualdade 
verdadeira por um nmero negativo, ela permanecer verdadeira se for trocado o sinal  por o (ou o sinal  por o). 
<p>
Exerccios 

<R+>
<F->
129. Certo ou errado? 
a) 2-1+4o3 
b) 2`(-1)-3o-4 
c) 2`(-#,b`)+3o0 
d) #,c-#,b-#,g 

130. Partindo da desigualdade verdadeira 510, forme desigualdades verdadeiras: 
a) somando 8 aos dois membros; 
b) somando -8 aos dois membros; 
c) multiplicando por 8 os dois membros; 
d) multiplicando por -8 os dois membros.  

131. Partindo da desigualdade verdadeira 20o10, forme desigualdades verdadeiras: 
a) somando 50 aos dois membros;
b) somando -50 aos dois membros;
c) multiplicando por #,b os dois membros;  
d) multiplicando por -#,b os dois membros.  
<p>
132. Copie as tabelas em seu caderno e complete-as, formando desigualdades verdadeiras, a partir das desigualdades dadas: 

a) _`[{tabela adaptada em cinco colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: desigualdade;
2 coluna: somando 10;
3 coluna: somando -10;
4 coluna: multiplicando por 10;
5 coluna: multiplicando por -10.
<F+>
<R->

<F->
1; 2; 3; 4; 5
-4<-1; ...; ...; ...; ...
-10<10; ...; ...; ...; ...
<F+>

<R+>
<F->
b) _`[{tabela adaptada em cinco colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: desigualdade;
2 coluna: somando 5;
3 coluna: somando -5;
4 coluna: multiplicando por 2;
5 coluna: multiplicando por -2. 
<F+>
<R->
<p>
<F->
1; 2; 3; 4; 5
3>1; ...; ...; ...; ...
0<2; ...; ...; ...; ...
4>-2; ...; ...; ...; ...
-1<5; ...; ...; ...; ...
-3<-2; ...; ...; ...; ...
<F+>
<200>

Inequaes 

  Sentenas como: "O triplo de um nmero  menor que 12", ou "A soma de dois nmeros  maior que 
100" so representadas por desigualdades que contm incgnitas. Veja: 
 3x12; x+yo100 
  Elas so exemplos de inequaes. 

  Inequao  uma sentena matemtica expressa por uma desigualdade, contendo uma ou mais incgnitas. 
<p>
Soluo de uma inequao 

  Quando substitumos a incgnita de uma inequao por um nmero, obtemos uma desigualdade. Se essa desigualdade for verdadeira, dizemos que o nmero  uma soluo da inequao. 
  Considere, por exemplo, a inequao 3x12. Vamos verificar quais dos nmeros -2, 1, 5, #:e e #=e so solues: 
<R+>
<F->
 para x=-2, temos: 3.`(-2)12 (verdadeira) 
 para x=1, temos: 3.112 (verdadeira) 
 para x=5, temos: 3.512 (falsa) 
 para x=#:e, temos: 3.#:e12 (verdadeira) 
 para x=#?g, temos: 3.#?g12 (verdadeira) 
<F+>
<R->
  Conclumos que -2, 1, #:e e #=e so solues e 5 no  soluo da inequao 3x12. 
<p>
Exerccios
 
<R+>
<F->
133. Verifique se o nmero -5  soluo das inequaes: 
a) 2x10 
b) 1-2x2 
c) x3o0 
d) xo-2  

134. Descreva com palavras quais so as solues de: 
xo10; x-2 

135. Verifique se o nmero #,b  soluo das inequaes: 
a) 2x+1o3 
b) x2#,b
c) x213 
<201>

136. Certo ou errado? 
a) Se x7, ento 7x. 
b) Se x-1o8, ento 8x-1.
c) Se -3x+7, ento x+7o-3.  

137. O nmero -1  soluo da inequao 5`(x+1)-3`(x-1)4`(1-x`)-2? 
138. Algum dos elementos do conjunto `{1, 2, 3, 4, 5`}  soluo da inequao 2x-1o7? 

139. Certo ou errado? 
a) Se ab, ento 2a2b. 
b) Se x5, ento -3xo-15.  
c) Se -xo3, ento xo-3.  
<F+>
<R->

Desafio
 
Muita moeda, pouco dinheiro 

  Seu Barbosa deseja trocar R$20,00 em moedas iguais para distribuir entre seus 8 netos. Ele quer entregar a cada neto mais do que 10 moedas. De que valor devem ser as moedas? 

Como se resolve uma inequao? 

  Resolver uma inequao significa encontrar as suas solues. 
<p>
Desfazendo subtrao 

<R+>
 Subtraindo 675 de um nmero, obtemos uma diferena maior do que 150. Qual  esse nmero? 
<R->
  Representando o nmero desconhecido por *x*, montamos a inequao: 
 x-675o150 
  Para "desfazer" a subtrao realizada com *x*, somamos 675 aos dois membros da desigualdade: 
 x-675+675o150+675 
 xo825 
  Resposta: O nmero procurado pode ser qualquer nmero maior que 825. 

Desfazendo adio 

<R+>
 Vamos resolver a inequao x+4,25o5. 
<R->
  Nesse caso, para "desfazer" a adio realizada com *x*, sub-
<p>
tramos 4,25 (ou soma-
mos -4,25) dos dois membros: 
 x+4,25-4,25o5-4,25 
 xo0,75 
  Resposta: As solues so todos os nmeros maiores que 0,75. 
<202>

Desfazendo multiplicao 

<R+>
 Em certa escola, #;c dos estudantes so meninas. A diretoria da escola deseja distribuir 120 camisetas para que as meninas formem uma torcida uniformizada. Quantos alunos, no mximo, pode ter essa escola para que no faltem camisetas? 
<R->
  Representando por *x* o nmero de estudantes, montamos a inequao: 
 #;c.x=120
  Para "desfazer" a operao realizada com *x*, vamos multiplicar os dois membros da inequao por #:b:
 #:b.#;c.x=#:b.120
 x=180
<p>
  Resposta: Essa escola pode ter no mximo 180 estudantes. 

Operaes elementares sobre 
  inequao 

  Nos exemplos anteriores, para encontrar as solues adicionamos ou multiplicamos um mesmo nmero aos dois membros da inequao. Ao 
fazer isso, realizamos uma operao conhecida como operao elementar sobre a inequao. 
  Resumindo, h dois tipos de operaes elementares que podemos realizar sobre a inequao: 
<R+>
 Adicionar um mesmo nmero aos dois membros da inequao. 
 Multiplicar por um mesmo nmero, diferente de zero, os dois membros da inequao. Nesse caso, somente se multiplicarmos por um nmero negativo, deveremos inverter o sinal da desigualdade (o vira  ou  vira o). 
<R->
<p>
Caso do coeficiente negativo 

<R+>
 Vamos resolver a inequao -3x#*b. 
<R->
  Nesse caso, como o termo em *x* tem coeficiente negativo, vamos 
comear multiplicando por -1 os 
dois membros da inequao. Quando 
multiplicamos por um nmero negativo, invertemos o sinal da desigualdade: 
 -3x#*b 
 `(-1).`(-3x`)o`(-1).#*b 
 3xo-#*b 
  Agora dividimos os dois membros por 3 (ou multiplicamos por #,c): 
 #,c.3xo#,c.`(-#*b`)
 xo-#:b 
  Resposta: As solues da inequao so todos os nmeros maiores que -#:b. 
<203>

Exerccios 
<R+>

<F->
140. Subtraindo 256 de um nmero, a diferena ficar menor que -100. Que nmero  esse?  
<p>
141. Resolva as seguintes inequaes: 
a) x+33
b) x-21
c) x-#,b=2 
d) x+1o-1 

142. Joozinho, de 12 anos, perguntou a sua professora qual era a idade dela. Ouviu como resposta: "Trs quintos da minha idade superam cinco quartos da sua". A que concluso Joozinho pode chegar sobre a idade da professora?  

143. Resolva as seguintes inequaes: 
a) 5x25
b) 3xo18
c) x2=7
d) 3x5o=-2 

144. Para cada inequao  esquerda, associe uma inequao  
<p>
  direita que indique suas solues: 
Inequaes  esquerda
A) x+3<4
B) x-2>-1
C) 3x>12
D) -5x<-15
E) 6x5<1
Inequaes  direita
I) x>1
II) x>4
III) x<1
IV) x<3
V) x<56
VI) x>3
 
145. Que nmero devemos somar a -7,25 para que a soma obtida seja maior que -1? 
146. Que nmero devemos adicionar a #:d para ficar com soma inferior a -#,d? 

147. Certo ou errado? 
a) Se -2x>4, ento x<-2.
b) Se -2x>8, ento x<4.
c) Se 4a>4b, ento a>b.   
d) Se -6<-x, ento 6>x.  
<p>
148. O permetro de um quadrado  maior do que 30 cm. Quanto mede o lado do quadrado?  

149. Resolva as inequaes: 
a) -x<-11 
b) -2x>5
c) 3<2x
d) 17>=-3x 

150. Tenho 51 anos, o que  mais do que o triplo da idade de minha filha. Qual  a idade da minha filha? 

151. Ache as solues de cada inequao: 
a) -11<x-4
b) -7<=x+35
c) 7>1-x
d) 8<=2-x
e) -29<=-5x
f) 4<-3x5 
g) -6>-3x11
h) 8<4x17 
<F+>
<204>
<p>
152. A largura do terreno de minha casa  12,5 m. No fundo do terreno quero um gramado retangular que ocupe toda a largura dele. Para ficar com um gramado de mais de 50 m2, qual deve ser a medida do outro lado? 

Isolando a incgnita 
<R->

  Nos prximos exerccios vamos desenvolver a tcnica de resoluo de inequaes.  muito parecida com a de resoluo de equaes. 
<R+>
 Acompanhe as resolues destas inequaes: 3x-1<=11 
<R->
 3x-1<=11 
 3x<=11+1 
 3x<=12 
 x<=#,;c 
 x<=4 
  Resposta: As solues so todos os nmeros menores que 4, e tambm o nmero 4. 
 2x-7<5x+8 
 2x-7<5x+8 
 2x-5x<8+7 
 -3x<15 
 `(-1)`(-3x`)>`(-1)15 
 3x>-15 
 x>-#,?c 
 x>-5 
  Resposta: As solues so os nmeros maiores que -5. 
<205>

Exerccios 

<R+>
<F->
153. Resolva as inequaes: 
2x-1<=5
3x+1>7
 
154. O suplemento de um ngulo mede mais do que 165. Quanto mede o ngulo?  
155. O complemento de um ngulo  menor do que 22. Quanto mede o ngulo?  

156. Resolva as inequaes: 
a) x-3>=1-x
b) 2x+1<=x-2
c) 2x+7<x+3 
d) 3x+5>2x-3 
<p>
157. Resolva as inequaes: 
a) 1-2x<5+x
b) 3-x<=1+x
c) 2-2x>=3-3x
d) 11>2x+5 

158. Deseja-se que a mdia aritmtica de trs nmeros seja maior do que 50. Dois desses nmeros so conhecidos: 32 e 44. Qual deve ser o terceiro?  
159. Na expresso ?a+2b+3c+4d*10, sabe-se que a=4, b=3 e c=6. Quanto deve valer *d* para que o resultado seja maior do que 5?  

160. Num retngulo, um lado mede 4 cm a mais do que o outro. Para que o permetro seja maior que 40 cm, quanto deve medir o menor lado?  
<p>
     x+4
  !:::::::::
  l         _
x l         _
  l         _
  h:::::::::j

161. Para cada inequao  esquerda associe uma inequao  direita que indique suas solues: 
Inequaes  esquerda
A) 5-3x>7-11x
B) 2`(x-1`)<3x+4
C) x-1>-2-x
D) 2`(x+3`)<-2`(3x+1`)
E) -1>=11-2x
F) 2`(2x-1`)-4`(5-x`)<=13
G) 2`(x-1`)+3`(x-1`)<5
H) 3`(1-2x`)+4`(3-5x`)>x-7
Inequaes  direita
I) x>-12
II) x>=6
III) x>14
IV) x>1
<p>
V) x>-6
VI) x>-1
VII) x<=6724
VIII) x<2227
IX) x<2
<206>

162. Descubra as solues de cada uma das inequaes a seguir: 
a) 5`(3-x`)-3`(7-x`)>=4-
  -`(x-13)
b) 7`(2x+1)+5`(-3x-1)<#,b 
c) 3`(x-3)>2`(2x-7)-5`(1-x`) 
d) 5`(1-x`)-3`(4-2x`)>7-x
e) 0<=`(x+1)+`(x+2)+`(x+3)+
  +`(x+5) 
f) 3`(x+1)<2`(x-8)
g) 3`(x-1)+2>=5`(x+1)-3`(x-2) 
h) 4`(x+2)>2`(x-1)+3`(x+1) 
<F+>
<R->
<p>
Eliminando denominadores 

<R+>
 Vamos resolver a inequao -x2<=-14+x3.
<R->
  O primeiro passo  eliminar os denominadores, multiplicando os 
dois membros por um mltiplo comum 
deles. Um mltiplo comum de 2, 4 e 3  12. Temos: 
 12.`(-x2)<=12.`(-14)+
  +12.x3
 -6x<=-3+4x
 -6x-4x<=-3
 -10x<=-3
 x<=310
  Resposta: As solues so o nmero 310 os nmeros maiores que 310.
<p>
Exerccios 

<R+>
163. Para que valores de *x* o permetro do quadriltero a seguir supera 50 cm? As medidas indicadas esto em centmetros. 
<R->
<F->

         
          
     x      73x
            
             
              
              
             
            
65x      2x+1
          
         
<F+>

<R+>
164. A sexta parte de um ngulo  maior que a quarta parte do suplemento desse ngulo. Quanto mede o ngulo? 
<R->
<p>
165. Resolva as inequaes: 
 x2+x3>-x6
 ?x-4*2+?-3-2x*
  3>=?1-5x*6

<R+>
<F->
166. Para que a mdia aritmtica de x2, x3 e x4 seja maior que #,e, quanto deve valer *x*?  

167. Resolva as inequaes: 
a) ?x+1*-3+?x+2*
  5>?x+3*-4-110
b) x3+?x-1*2+x<=?x-2*
  5-?x-2*4
c) 3<x5+x2+x4-120
d) -1>x2+x3-x4+x5-16
<207> 

168. Para que valores de *x*  verdadeira cada sentena a seguir? 
a) 54>=?2x+3*2-?3x-1*
  4-?1-4x*3+?7-2x*9 
b) 12-?3x-1*7<72+
  +?11x-3*7-?2-x*14
<p>
c) ?2`(x-1)*3-?3`(1-x`)*
  5<?3`(-x-2)*
  2-?7`(x+1)*10
d) 14`(x+2)-15`(2x-1)>2
  7`(x-72)

Teste seu conhecimento 

1. A expresso que representa "a metade do sucessor de um nmero natural *n*" :
a) n2+1 
b) ?n+1*2 
c) n+12
d) ?n+2*2

2. O valor numrico da expresso 2x2-2x-2 para x=-2 :
a) -414
b) 10
c) 234
d) 254
<F+>
<R->
<p>
3. O permetro do tringulo : 

<F->
      
2x     3x+2
        
   ------u 
    5x-1
<F+>

 a) 10x+1 
 b) 10x+3
 c) 11x 
 d) 11x+1

<R+>
4. A raiz da equao 15`(2x+4)=23`(x+2) : 
<R->
 a) -4 
 b) -2 
 c) 0 
 d) 2 

<R+>
5. Sobre a equao 3`(2x+1)=
  =?12x+7*2 podemos afirmar: 
 a) admite uma soluo positiva. 
 b) admite uma soluo negativa. 
 c) admite uma soluo nula. 
 d) no admite soluo. 

6. (UF-CE) O valor de *x* que  soluo da equao 12+13+14=x48  igual a:
<R->
 a) 36 
 b) 44 
 c) 52 
 d) 60 

<R+>
7. Uma corrida de txi custa R$4,00 mais uma parcela que depende da distncia percorrida, sendo cobrado R$1,50 por quilmetro. Quantos quilmetros so percorridos numa corrida que custa ao todo R$22,00? 
<R->
 a) 9 
 b) 10 
 c) 12 
 d) 16 
<p>
<R+>
8. O permetro do quadriltero  43. Ento, o valor de *x* : 
<R->

<F->
    x+1
  pccccc
  l      
x l        x+2
  l        
  v---------u
     2x
<F+>

 a) 6 
 b) 7 
 c) 8 
 d) 9 

<R+>
9. (ESPM-SP) Somando-se 489  metade de um nmero, obtemos o dobro dele. Qual  esse nmero? 
<R->
 a) 978 
 b) 490  
 c) 326 
 d) 163 
<p>
<R+>
10. (UF-RN) Somando-se 10 a um nmero dado e dividindo-se o resultado por 5, obtm-se 15. Assim sendo, o nmero dado est compreendido entre: 
<R->
 a) 10 e 15.  
 b) 50 e 60.
 c) 60 e 70.
 d) 15 e 30. 

<R+>
11. (UF-MG) Um estudante planejou fazer uma viagem de frias e reservou uma certa quantia em dinheiro para o pagamento de dirias. Ele tem duas opes de hospedagem: a Pousada A, com diria de R$25,00, e a Pousada B, com diria de R$30,00. Se escolher a Pousada A, em vez da Pousada B, ele poder ficar trs dias a mais de frias. Nesse caso,  correto afirmar que, para o pagamento de dirias, esse estudante reservou: 
<R->
 a) R$300,00 
 b) R$600,00 
<p>
 c) R$350,00 
 d) R$450,00 
<208>

<R+>
12. Numa classe, #,c dos alunos presentes eram meninos. Por terem sado 3 meninos e entrado 3 meninas, a frao de meninos caiu para #,d. Quantos alunos havia na classe? 
<R->
 a) 36 
 b) 32 
 c) 30 
 d) 24 

<R+>
13. (U. E. Londrina-PR) O nmero 625 pode ser escrito como uma soma de cinco nmeros inteiros mpares e consecutivos. Nessas condies, uma das parcelas dessa soma  um nmero: 
<R->
 a) menor que 120.  
 b) maior que 130. 
 c) quadrado perfeito.
 d) divisvel por 9. 
<p>
<R+>
14. (UFF-RJ) Trs nmeros naturais e mltiplos consecutivos de 5 so tais que o triplo do menor  igual ao dobro do maior. Entre esses nmeros, o maior : 
<R->
 a) mltiplo de 3. 
 b) mpar. 
 c) quadrado perfeito. 
 d) divisvel por 4. 

<R+>
15. Os ngulos da figura a seguir so adjacentes e suplementares. 
<R->
<F->

              
             
            
           
          
3x+20  x
::::::::j::::::
<F+>

  O valor de *x* : 
 a) 30 
 b) 35 
 c) 40 
 d) 45 
<p>
<R+>
16. Os ngulos da figura a seguir so adjacentes e complementares. O suplemento do ngulo *x* mede: 
<R->

<F->
 l     
 l    
 l   
 lx    
 l      
 l x2-18     
 cccccccccccc
<F+>

 a) 72
 b) 18  
 c) 108
 d) 128 

<R+>
<F->
17. (Vunesp-SP) O triplo do suplemento de um ngulo ^  63 51 37. O valor aproximado do ngulo ^ : 
a) 68 42 48 
b) 132 42 38
c) 148 40 27 
d) 158 42 48 

18. Dos nmeros -1, 1, 2 e 4, quantos so solues da inequao 4x-2>x4+2?
a) um 
b) dois 
c) trs 
d) quatro 

19. O triplo de um nmero, somado a 4,  maior que seu quntuplo diminudo de 4. 
  Esse nmero  necessariamente: 
a) positivo. 
b) negativo. 
c) maior que 4. 
d) menor que 4. 
<p>
20. O trapzio da figura a seguir ter rea superior a 12 cm2 somente se a altura *x* medir: 
<F+>
<R->

<F->
    1 cm
  pccccccc
  l        
x l          
  l          
  l           
  l            
  l             
  v--------------u
      2 cm
<F+>

<F->
a) mais que 8 cm. 
b) mais que 9 cm. 
c) mais que 10 cm. 
d) mais que 12 cm. 
<F+>
<p>
Desafios 

Boa pontaria d lucro 

  Num parque de diverses h uma barraca de jogo de dardos. Cada jogada custa R$5,00. Quando acerta no centro, o jogador recebe R$10,00 de prmio. Se um jogador, aps 20 jogadas, teve um lucro de R$20,00, quantos dardos ele acertou?  

Sinal escondido 

  Sendo *a* um nmero negativo e ax+b>0, podemos concluir que: 
<F->
a) x>ba
b) x<ba
c) x>-ba
d) x<-ba
e) x  negativo 
<F+>
<209>
<p>
Matemtica no tempo

Equaes 

  O estudo das equaes faz parte de um ramo da Matemtica conhecido como lgebra. Cerca de quatro mil anos antes de essa palavra ser incorporada  Matemtica, alguns povos, como os egpcios e os babilnios, j resolviam problemas por mtodos que podem ser considerados algbricos, pois a soluo envolvia operaes com quantidades desconhecidas. 
  Na verdade, esses povos no dividiam a Matemtica em reas distintas, como se faz hoje. E, no que se refere  lgebra, ainda no havia uma escrita matemtica. Para resolver o problema, o estilo adotado era verbal, baseado em "receitas" no formuladas genericamente. Vejamos como isso funcionava. 
<p>
  Vamos exemplificar o estilo verbal com a Matemtica do Egito, na qual encontramos vrios problemas de carter algbrico, nos quais a incgnita era chamada de *aha*, palavra que pode ser traduzida como "monte" ou "quantidade". O primeiro problema com *aha* do papiro Rhind (datado de cerca de 1750 a.C.) -- a fonte mais rica em informaes sobre a matemtica do Egito antigo --  o de nmero 24. Esse problema pede o valor de *aha*, informando que "a soma de *aha* com sua stima parte  19". Com a notao algbrica moderna esse problema pode ser equacionado assim: x+x7=19, em que *x* representa *aha* (quantidade incgnita). 
  Os egpcios utilizavam um mtodo que consistia em experimentar um valor para *aha* e, depois, fazer um ajustamento adequado para 
<p>
chegar ao valor procurado. Observe os passos da resoluo dada pelo escriba, em notao atual: 
<R+>
 Atribua o valor 7 a *aha*. Verifica-se que 7+77=8 e, portanto, a soluo tentada no  a correta.
 Divida 19 (valor que precisaria ser encontrado) por 8 (resultado encontrado); o resultado  198.
 *Aha*  o produto =7198=1338 (correto).
<R->
  Por fim, o escriba tirava a prova. 
  Essa "receita" ficou conhecida, mais tarde, na Europa, como mtodo de falsa posio simples e funciona para todas as equaes do mesmo tipo. Mas como os egpcios descobriram esse mtodo? Possivelmente por meio de mltiplas tentativas e erros, num processo de elaborao que pode ter durado muitos sculos. De todo modo, um feito matemtico digno de nota. 
<p>
  Por volta do ano 825, o persa Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi escreveu um livro que teria grande influncia no desenvolvimento da lgebra. Seu ttulo -- *Hisab al-jabr w'al muqabalah* -- poderia ser traduzido como "Cincia da transposio (*al-jabr*) e da reduo (*al-muqabalah*)". As duas palavras chave desse ttulo designam operaes elementares com equaes. 
  Como exemplo, consideremos a equao 5x=7-2x. Aplicando-se a ela a operao *al-jabr* (transposio) obtm-se 5x+2x=7, equivalente  equao dada. E aplicando-se a operao *al-muqabalah* (reduo) obtm-se 7x=7, tambm equivalente  equao dada. 
<210>
  Provavelmente, al-Khowarizmi foi o primeiro matemtico a escrever uma obra em que se utilizavam essas operaes na resoluo de equaes. A palavra lgebra deriva singelamente da palavra rabe *al-jabr*, que literalmente significa *transposio* (dos termos de uma equao). 
  No perodo que vai aproximadamente do sculo XVIII a.C. ao sculo XVIII d.C., o objetivo da lgebra era o estudo das equaes e dos mtodos de resolv-las. Somente no final do sculo XVII foi criada uma escrita para a lgebra. A partir de ento, passou-se a usar letras para denotar incgnitas e constantes, ou seja, criou-se a lgebra literal. A ideia de representar a incgnita por *x* e as constantes de uma equao genrica por *a*, *b*, *c*,... foi do cientista francs Ren Descartes (1596-1650). Na equao ax+b=c, `(a=0`), por exemplo, *a*, *b*, *c* representam constantes, e *x*, a incgnita. 
  O estilo simblico da lgebra foi um dos principais fatores do desenvolvimento da Matemtica a 
<p>
partir do sculo XVII, pelas possibilidades de generalizao que oferece, mesmo em outras reas da Matemtica. 

Explorando a leitura 

<R+>
<F->
1. Qual a vantagem de o escriba do papiro Rhind tentar inicialmente o valor 7 para a determinao de *aha*? Resolva esse problema, pelo mesmo mtodo do escriba, mas tentando um valor diferente de 7; verifique, ento, que a soluo  a mesma. 
2. Resolva pelo mtodo de falsa posio simples a seguinte equao e verifique a soluo encontrada: 
x+x15=20
3. Qual o significado original da palavra "lgebra"? 
4. O primeiro matemtico a usar letras para indicar constantes foi o francs F. Vite (1540-1603). Vite usava a seguinte conveno: vogais maisculas para indicar quantidades incgnitas e consoantes maisculas para indicar constantes. Se Vite usasse o smbolo de igualdade usado hoje (ele usava a palavra "igual", em latim, ou uma abreviatura dela) e os smbolos atuais da adio e da multiplicao, como poderia escrever a equao ax+b=c `(a=0`), empregando as letras A, B, C e D? 
5. O atual smbolo de igualdade foi introduzido pelo mdico e matemtico gals R. Record (1510-1558), numa obra de 1557. Record, porm, usava traos maiores do que os usados 
  hoje e sua ideia  que no podiam existir duas coisas mais iguais do que um par de retas paralelas. Mas esse smbolo demorou a ser adotado genericamente. O fato de Record escrever 
<p>
  em ingls (seus livros tinham a forma de um dilogo entre um professor e um estudante) pode ter contribudo para isso? Por qu? 
<F+>

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo
              
Fim da Quinta Parte
<R->
